수학과 음악은 모두 매우 추상적인 표기법을 갖고 있고 고유한 구조적인 규칙들에 의해 지배된다는 유사성 때문에 많은 수학자들이 어느 정도의 음악적 재능을 갖고 있음은 놀란운 사실이 아니다. 물론 차이점이 존재한다. 음악의 경우 그것을 경험하고 즐기는데 고도의 음악적 훈련은 요구되지 않는다 (대중성). 그러나 수학의 역사를 통해, 수학을 음미하는 방법은 기호를 '눈으로 읽는' 방법을 통해서였다. 비록 수학의 구조나 양식은 모든 면에서 음악의 구조 및 양식과 마찬가지로 인간 마음의 구조를 반영하고 인간의 마음을 반영하지만, 인류는 귀로 음미할 수 있는 수학을 발전시키지 못했다.
아인슈타인은 항상 음악을 들으며 과학적인 문제를 생각할 정도로 음악을 좋아했다．아름다운 음악은 피곤해진 사람들을 위로하며 복잡한 생각으로 가득찬 머리를 안정시켜줄 뿐만 아니라 동물과 식물의 생육에도 어느 정도의 영향을 주는 것으로 밝혀졌다．수학과 음악이 관계가 있다고 생각한 피타고라스(B.C. 569∼475)는 하프의 현 길이가 짧을수록 진동수가 커지고 현의 진동수가 클수록 높은 음이 난다는 사실을 발견했다．이는 음의 높이는 현의 길이에 반비례하고 진동수에 비례한다는 것이다．
하프의 줄을 튕겼을 때 ‘도’ 소리를 냈다고 한다면 그 현의 길이가 3분의 2로 줄어졌을 때는 ‘도’보다 4도 높은 ‘솔’의 소리가 나오고 2분의 1로 줄어졌을 때는 7도나 높은,즉 한 옥타브 위인 ‘도’의 소리가 나온다．처음 현의 길이가 4분의 3으로 줄어졌을 때는 3도 높은 ‘파’의 소리가 나오는데 현의 길이의 비가 2대1, 3대2, 4대 3과 같이 간단한 정수의 비로 표현될수록 어울리는 소리가 나고 복잡할수록 어울리지 않는다는 사실도 발견했다．
인간의 마음 속 깊은 곳에는 질서에 순응할 때 편안함을 느끼는 본능이 있다．사람들이 아름다운 음악과 선한 행위에 쉽게 도취하는 것은 이 때문일 것이다．수학과 음악은 비록 장르가 다르지만 근본적으로 같은 것이라 할 수 있다．
수학과 음악은 이성과 정서의 세계를 연결시키는 가교 역할을 해왔기 때문에 소재와 방법은 달라도 한결같은 인간정신의 표현이며 공통된 문화의식을 가진다
피타고라스의 음정 이론
아름다운 선율을 자랑하는 음악과 딱딱한(?) 수학은 전혀 어울리지 않을 것 같아 보인다. 그러나 수학자는 음악의 역사 첫 장부터 등장하며 수학 없이는 음악 이론을 전개할 수 없다.
‘수는 만물을 지배한다’고 주장했던 피타고라스는 음정이 ‘수’의 지배를 받는다는 사실을 발견했다. 음정은 동시에 울리거나 연이어 울리는 두 음의 높이의 간격인데, 일반적으로 ‘도’를 단위로 해서 음계에서 똑같은 단계에 있는 두 음의 음정을 1도, 한 단계 떨어져 있는 두 음의 음정을 2도라 한다. 간격이 한 단계씩 넓어짐에 따라 3도, 4도라 하는데, 8도를 1옥타브라고 부른다.
피타고라스는 장력과 재질이 서로 같은 두 현을 퉁겼을 때 나오는 두 음은 길이의 비가 2 : 1이면 8도, 3 : 2이면, 5도, 4 : 3이면 4도 음정이 난다는 사실을 발견했다. 그리고 현의 길이가 이렇게 간단한 정수의 비로 표현될수록 어울리는 소리가 나고, 복잡할수록 어울리지 않는다는 사실도 발견했다. 실제로 1도, 4도, 5도, 8도 음정만을 완전 어울림 음정이라고 한다. 이렇게 피타고라스의 음정 이론은 서양 음악 이론의 출발점이 되면서 음악과 수학은 밀접한 관계를 맺었다.
로그를 이용
피타고라스의 음정 이론에 따라 음계를 정하는 방법을 순정률(또는 순정조, pure temperament)이라고 한다. 현을 퉁겼을 때, 현의 길이가 짧을수록 진동수는 커지고, 현의 진동수가 클수록 높은 음이 나온다. 즉 음의 높이는 현의 길이에 반비례하고 진동수에 비례한다. 순정률에 따른 C장조 음계에서 각 음에 대응하는 진동수와 인접한 진동수 사이의 비를 보면 음정의 합과 진동수 비의 곱이 멋지게 대응한다는 사실을 발견할 수 있다. 예를 들어 5도 음정과 4도 음정의 경우는 다음과 같다.
음정의 합 : 5도 + 4도 → 8도
↕ ↕ ↕
진동수의 비의 곱 : 3/2 × 4/3 = 2/1
이와 같이 덧셈과 곱셈 사이의 관계가 성립하기 때문에, 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 로그가 이런 맥락에서 이용된다.
순정률은 음정을 정수의 비로 간단하게 나타내고 이에 따라 완벽한 화음을 보장한다. 그렇지만 순정률에서는 음정이 일정하지 않다. 똑같은 2도 음정이라도 진동수의 비가 각각 9 : 8, 10 : 9, 16 : 15로 다르기 때문이다. 거의 비슷한 처음 두 가지를 각각 온음이라 하고, 훨씬 작은 마지막 경우를 반음이라고 한다. 그런데 순정률에서는 두 반음의 합이 온음이 되지 않는다는 결정적인 약점이 있다. 즉 반음에 대응하는 진동수의 비인 16/15을 두 번 곱하면 16/15×16/15≒1.138로 온음에 대응하는 진동수의 비 9/8≒1.125 또는 10/9≒1.111보다 커진다. 그래서 C장조를 D장조로 조바꿈을 할 경우 D와 E의 첫째 음정은 진동수의 비가 원래의 9 : 8이 아니라 10 : 9가 되는데, 이 경우에는 차이점을 거의 알 수 없다. 그렇지만 다음 음정은 온음이기 때문에 E와 F 사이의 반음과 F와 F# 사이의 반음을 더해야 하는데, 음계에 이런 음정은 없다. 이런 문제점은 곡이 진행될수록 더욱 커진다.
순정률은 순수하고 완벽한 화음을 지녔기 때문에, 음높이를 자유롭게 바꿀 수 있는 무반주 합창(아 카펠라)이나 현악기의 합주 등에서는 그 화성적 아름다움이 살아나지만, 음높이를 고정시킨 악기(피아노, 관악기 등)에서는 온음의 폭이 고르지 않고 조바꿈이 곤란하다는 등의 문제점이 있다.
1옥타브 속에 숨은 등차, 등비수열
순정률의 문제점을 보완한 방법으로 현재는 건반 악기를 중심으로 해서 1옥타브를 반음씩 12등분한 평균율(equal temperament)이 일반적으로 쓰이고 있다. 반음씩의 등분은 이에 대응하는 진동수의 비를 일정하게 정한다는 말과 같다.(식1)
이에 따라 각 반음에 대응하는 진동수의 비를 12√2≒1.0595 로 정해야 한다. (무리수가 이 곳에도 등장하는데, 이런 비는 수학자 메르센(Marin Mersenne, 1588-1648)이 처음으로 제시했다.) 그러므로 평균율에서 음정은 반음씩 증가하는 등차수열을 이루고, 이에 대응하는 진동수는 일정한 비율 12√2`로 증가해서 1옥타브 올라가면 2배가 되는 등비수열을 이룬다.
평균율은 복잡한 무리수의 비를 이용하지만 정수의 비를 이용하는 순정률에서 많이 벗어나지는 않는다. 예를 들면 5개의 반음으로 이루어지는 4도 음정과 7개의 반음으로 이루어지는 5도 음정에 대응하는 진동수의 비를 순정률과 평균율에서 비교해보면 다음과 같다.
음정 순정률 평균율
4도 4/3 ≒ 1.3333 (12√2)의 5승 ≒ 1.3348
5도 3/2 = 1.5 (12√2)의 7승 =1.4983
평균율에서 유일한 순음정(pure inteval!)은 1옥타브뿐이며 어울림 음정과 안어울림 음정이 건반 위에서는 동일한 음정으로 되는 모순이 있다. 그러나 평균율은 모든 장조와 단조가 연주 가능한 실용적 음계를 이루며, 자유로운 조바꿈과 조옮김은 물론 자유로운 화음 진행을 원활하게 한다는 장점이 있다.
바흐는 14와 41의 숫자를 좋아했다. 14는 그의 이름 BACH의 알파벳 순서인 2.1.3.8을 합한 수이며, 41은 14에 이름 첫 자 J.S 자릿수까지 합친 것이다.
그래서 그의 걸작 오르간 미사의 한 곡에서는 독일 음계로 BA(BbA)는 14번째 마디, CH(CB)는 41번째 마디에서 나타난다.
작곡가 바르토크는 20세기 최고의 관현악 작품의 하나로 꼽히는 그의 '현.타악기.첼레스타를 위한 음악' 에서 피보나치 수열을 교묘하게 사용하고 있다.
피보나치 수열이란 첫 두 항이 1.1이고, 다음 항부터는 바로 앞 두 항의 합으로 이뤄진다.
처음 몇 항을 써보면 1.1.2.3.5.8.13.21.34.55.89이다.
이 곡 첫 악장은 89 마디로 구성되어 있는 데 마치 산을 올라갔다가 내려오듯이 처음에는 피아니시모부터 시작해 점점 강해져 55번째 마디에서 포르테시모로 클라이맥스를 이루고 다시 피아니시모로 줄어드는 구조이다.
55마디 앞부분은 34.21 마디 두 부분으로 나뉘고, 34마디는 다시 21.13으로 나뉜다. 뒷부분의 34 마디도 13.21로 나뉘어 피보나치 수열을 그대로 적용됐다.
위대한 작곡가들은 자신이 좋아하는 수를 작품에 반영하거나 미적 균형을 유지하기 위해 치밀한 황금비와 같은 수학적 지식을 동원하고 있음을 알 수 있다.
수학과 음악, 그리고 체스 사이에는 관계성과 유사성에 대한 상호 연관적, 역사적 그리고 일화적 보고서들이 많이 있다. 이들 중 하나 이상의 것에 능숙하게 타고난 사람들이 높은 비율을 나타내며 어린이 성장 발달에 관한 연구 결과들은 음악 교육과 공간적 추론 능력의 방법간에 상호 연관성을 보여주었다. 고대 그리스의 피타고리아 사람들은 음악을 수학의 4개의 가지중의 하나라고 생각했다. 이런 연관성을 위한 원인이 되는 기초를 제공하는 외피의 구조화된 신경세포의 모델이 제안되었다.
라우셔, 쇼, 키는 이 모델에서 자극을 받아 원인이 되는 관계를 이론화시키는 연구에 최근 착수하였다. 가설은 음악을 듣는 것이 결과적으로 짧은 기간에 공간적 추론 실행의 증진을 이끈다는 것이다. 수학과 음악, 그리고 체스에 적용되는 더 높은 두뇌기능의 기초는 수 십초 동안 외피의 넓은 부분에 걸친 신경 세포들의 그룹에 의해 추상적이며 시-공간적 점화 형태의 발전이다.
이런 생각들의 과학적 실험적인 테스트는 여전히 연구대상이다. 여기에서 우리는 그들의 연구와 그리고 수학과 음악간의 가능한 관계에 관심을 갖는 14명의 수학자들과의 자세한 인터뷰의 결과를 보여준다. 우리는 더 높은 두뇌 기능으로의 흥미로운 직관을 제공하는 결과를 보여줄 것이며, 우리 이론을 측정하기 위한 새로운 행태적 실험을 제시할 것이다. 가능한 한 많은 관점으로부터 더 높은 두뇌 기능들을 이해하기 위한 단서들을 찾는 것은 가치가 있는 일이며, 그리고 특히 확인되어진 천재들을 봄으로서 알 수 있다. 적절한 일화는 언급하기에 흥미로울 뿐 아니라 이해하기 쉽다.
자서전 작가인 데이븐포트(Davenport)는 모차르트의 관한 이 이야기를 언급한다
... 그가 6살 생일이 되기 전까지 볼프강은 행복했으며 삶의 무거운 짐은 없었다... 그는 어떤 과목이 되었던지 쉽고 빠르게 익혔다. 그는 산수의 기초를 발견했을때 음악으로 향해있던 그의 마음을 빼았겼다. 갑자기 그의 집의 모든 공간은 손으로 휘갈겨 쓴 것으로 채워졌다. 벽, 계단, 식탁 그리고 의자들까지.. 수학에 대한 열정은 명백히 그의 위대한 대위법과 매우 깊은 연관이 있다. 그러나 음악만이 오직 그의 진정한 기쁨이였다.
자서전 작가인 카니겔(Kanigel)은 라마누얀(Ramanujan)을 비교적 무식한 수학자로 묘사했다.
... 너무 위대하므로 그의 이름은 질투를 넘어서 인도에서 지난 천년동안에 배출한 훌륭한 수학자들 중의 가장 위대한 한 사람이다. 그의 직관적 도약은 그의 사후 70년이 지난 오늘날까지도 수학자들을 당황하게 했다. 그의 연구 업적은 그것의 비밀을 위해 여전히 충분히 이해되어졌다... 라마누얀은 잘 알려진 수학자 마크 카크(Mark Kac)을 보통의 천재라기보다 마술사라고 불렀다.
만약 우리가 단지 몇 배만 훌륭하다면 보통 천재는 당신이나 나 정도만 되는 사람과도 친구가 될 수 있을 것이다. 그의 마음을 어떻게 다뤄야 하느냐에 대해서는 아무런 비결도 없다. 우리가 그가 어떤 일을 해낸 것을 이해하면 우리 또한 그것을 해낸 것으로 느낀다. 이것은 마술사와는 다른 것이다. 그들은 우리가 있는 직각의 여각에서 수학적 허튼 소리를 이용하며, 그들의 마음의 연구는 이해할 수 없는 모든 의도와 목적들을 위한 것이다. 그들이 무엇을 해냈는지 우리가 이해한 후에라도 그들이 해낸 것들의 과정은 완전히 감추어져 있다.
음악의 기호가 수학적으로 연결되었듯, 우리의 모든 표현하기 어려운 듯한 것도 수학적으로 생각해 보면 연결이 되어있다..뛰어난 음악가나 수학자를 보면 음악과 수학은 관계를 갖고 있다...그래서 우리가 살아가는 공간에서는 수학이 거의 적용 된다고 본다..
출처:http://nsmetal.mozart-effect.co.kr/album01-5.htm
http://www.hongik.ac.kr/~ymkim/intro/what/what3.htm
http://my.netian.com/~jowoon99/html/music.htm